МОДЕЛЬ БЛЕКА–ШОУЛЗА З ОБМЕЖЕННЯМ

Янішевський В.С.
кандидат фізико-математичних наук,
доцент кафедри технологій управління
Національного університету «Львівська політехніка»

Розглянуті розв’язки стохастичного рівняння геометричного броунівського руху з граничними умовами. Граничні умови задаються у рівнянні Фоккера–Планка для густини умовної ймовірності, що відповідає даному стохастичному рівнянню. Встановлено, що граничній умові відповідають розв’язки для густини умовної ймовірності з нульовим потоком ймовірності на границі. Шляхом відповідної підстановки задача зведена до побудови розв’язків з граничною умовою Неймана, для чого використані відомі методи математичної фізики. Знайдено розв’язок моделі геометричного броунівського руху для ціни акції, де ціна акції обмежена зверху. За допомогою зазначеного обмеження моделюються так звані лінії спротиву, що спостерігаються у ринковій динаміці акцій. Знайдена формула для ціни європейського опціону типу кол, що узагальнює відому формулу Блека–Шоулза, проведено порівняння.
Ключові слова: стохастичні рівняння, броунівський рух, модель геометричного броунівського руху, рівняння Фоккера–Планка, модель Блека–Шоулза.

Янишевский В.С. МОДЕЛЬ БЛЭКА–ШОУЛЗА C ОГРАНИЧЕНИМ
Рассмотрены решения стохастического уравнения геометрического броуновского движения с граничными условиями. Граничные условия задаются в уравнении Фоккера–Планка для плотности условной вероятности, соответствующей данному стохастической уравнению. Установлено, что граничному условию соответствуют решения для плотности условной вероятности с нулевым потоком вероятности на границе. Путем соответствующей подстановки задача сведена к построению решений с граничным условием Неймана, для чего использованы известные методы математической физики. Найдено решение модели геометрического броуновского движения для цены акции, где цена акции ограничено сверху. С помощью указанного ограничения моделируются так называемые линии сопротивления, наблюдаемые в рыночной динамике акций. Найдена формула для цены европейского опциона типа кол, обобщает известную формулу Блэка–Шоулза, проведено сравнение.
Ключевые слова: стохастические уравнения, броуновское движение, модель геометрического броуновского движения, уравнение Фоккера–Планка, модель Блэка–Шоулза.

Yanishevsky V.S. BLACK–SCHOLES MODEL WITH CONSTRAINT
Solutions of stochastic equation of geometric Brownian motion model with boundary conditions were considered. The boundary conditions are set in Fokker–Planck equation for conditional probability density, which corresponds to the given stochastic equation. It was established that the solutions for equation for conditional probability density with zero probability flow on the boundary correspond to the given boundary condition. By means of substitution the problem was reduced to building solutions with Neumann boundary condition for which a well-known methods of mathematical physics were used. A solution for geometric Brownian motion model for shares price with a price constraint from above was found. With the help of mentioned constraint a so called resistance levels which are observed in markets dynamics are modeled. A European option call price formula which generalizes a known Black–Scholes formula was found. Also comparisons were carried out.
Keywords: stochastic equations, Brownian motion, geometric Brownian motion model, Fokker–Planck equation, Black–Scholes model.

Завантажити статтю (pdf)